Aulas e superação de Matemática com Domingos Tati

Aulas e superação de Matemática com Domingos Tati O nosso objectivo é ajudar e superar as dúvidas das pessoas com dificuldades matemáticas... Ensinar princípios e técnicas matemáticas.

16/03/2022

....Equações Exponenciais...
Professor: Lic Domingos Tati

16^x = 1/2x
16^x - 1/2x = 0
16^x - 1/2x = 2 - 2
1)__16^x =2
2^4x= 2
X= 1/4
2)__-1/2x = - 2
-4x = - 1
X = 1/4
Verif**ação
16^x = 1/2x
16^¼ = 1/2.1/4
2^4(1/4) = 1.2/1
2 = 2

Logo: c.s = {1/4}

10/03/2022

No ano 2017 alguém me deu uma integral,
∫e^³√x dx ( filho raiz cúbica de x)
Resolução com Professor:

∫e^³√x dx
Pondo:
³√x = t
x = t³
dx = 3t²dt, agora vamos na integral
∫e^³√x dx => ∫(e^t . 3t²)dt => 3∫e^t .t² dt
Agora vamos na integral por parte
∫udv = uv-∫vdu
u=t²
du=2tdt
∫dv=∫e^tdt
__v=e^t+c
3[ t².e^t - 2∫e^t .t dt]
Agora você tem ∫e^t .t dt vamos resolver também é por parte.
∫e^t .t dt
u=t
du=dt

∫dv=∫e^t dt
__v=e^t+c
∫e^t .t dt= t .e^t - ∫ e^t dt
________= t . e^t - e^t + c
Agora vamos voltar onde paramos
3[ t² . e^t - 2(t . e^t - e^t)]+c
3( t². e^t - 2t.e^t + 2e^t )+c
3[ e^t(t² - 2t + 2 )]+c
Agora vamos devolver:
3e^³√x ( ³√x² - 2³√x + 2) + c
Logo:
∫e^³√xdx = 3e^³√x ( ³√x² - 2³√x + 2) + c
Em caso de dúvida liga para: 944442382 ou Emial: [email protected]
O preparatório está proximo vem connosco!

09/03/2022

Resolução de um caso apanhado ali fora.
Exrcício de equações exponeciais
Professor: Domingos Tati


2.(2/3)^-4x - 5.(3/2)^2x = - 3
Vocês lembram disso nem:
(a/b)^n=(b/a)^-n
Qui bom que você lembrou então vamos lá:
2.(3/2)^4x - 5.(3/2)^2x=-3
Você sabe que:2²=2.2=4, veja
2[(3/2)^2x]^2 -5.(3/2)^2x + 3= 0
Agora vamos assumir:
(3/2)^2x= t
2t² - 5t + 3 = 0
Vamos trabalhar usando álgebra, veja algo que você sabe..
Se nós temos: 2t²-5t+3=0 olha só
2t.t - 2t - 3t + 3 = 0
2t(t-1) -3(t-1)=0
(2t-3).(t-1)=0
Se você verif**ar vais voltar na equação :2t²-5t+3=0
2t-3=0___v___t-1=0
__t=3/2___v____t=1
Ja temos as raizes agora vamos devolver:
Se: t=3/2
(3/2)^2x = 3/2
_____2x = 1
______x = 1/2
Se: t = 1
Você lembra: a^0= 1, ok
(3/2)^2x = 1
(3/2)^2x = (3/2)^0
______2x = 0
_______x = 0
Vamos verif**ar:
Para: x = 1/2
2(3/2)^4.1/2 - 5(3/2)^2.1/2 = - 3
2.(3/2)^2 - 5(3/2) = -3
9/2 - 15/2 = - 3
______ - 3 = - 3

Para: x = 0
2(3/2)^4.0 - 5(3/2)2.0 = - 3
____2(3/2)^0-5(3/2)^0=-3
_____________2.1 - 5.1 = - 3
__________________ - 3 = - 3
Conjunto solução
________C.S ={ 0 ; 1/2 }
Em caso de dúvidas liga para: 944442382, Emial : [email protected]

30/09/2018

Olá.
X^x²=2
Tira, tira, tira

16/05/2018

Algumas dicas necessárias.

Nem tudo número Real é Natural
Mais todo número Natural é número Real

20/04/2018

Exercício resolvido:

(a):

∫(tg²x+tg³x)•dx

∫tg²x•dx +∫tg³x•dx

I'= ∫ tg²x•dx
I'=∫ [(sen²x/cos²x)]•dx
∫[(1–cos²x)/cos²x]•dx

∫(1/cos²x)•dx–∫dx
I'=tgx–x+c

I''= ∫tg³x•dx
I"= ∫ (tg²x)•tgx•dx
I"= ∫ (sec²x–1)•tgx•dx
I"= ∫sec²x•tgx•dx–∫tgx•dx ⇔
I"= ∫tgx•d(tgx)+∫d(cosx)/cosx
I"=(tg²x)/2 +ln(cosx)+c

I=I'+I"⇒

I=tgx–x+(tg²x)/2 +ln(cosx)+c

(b):

∫ [(x⁷+x³)/(x¹²–2x⁴+1)]•dx
∫(x³•(x⁴+1)/[(x⁴)³–2x⁴+1)])•dx
supondo que :
x⁴=t
4x³•dx=dt
x³•dx=dt/4
Façamos a substituição aí f**a:
∫ (t+1)•dt/[4(t³–2t+1)]
(1/4)•∫(t+1)•dt/[(t³–2t+1)]
observe-se que a expressão
t³–2t+1=(t-1)•(t²+t–1)

então substituo na integral :

(1/4)•∫(t+1)•dt/[(t+1)(t²+t–1)]
Como o 1/4 é constante então guardemos o 1/4 e resolvendo
a integral abaixo:

∫(t+1)•dt/[(t-1)(t²+t–1)]
Aplicação da fração simples com determinação dos coeficientes A,B e C. tem-se:

a Integral ∫(t+1)•dt/(t-1)•(t²+t–1)
é equivalente a essas duas integrais abaixo vejamos eis-lá:

∫A•dt/(t-1) + ∫(Bt+C)dt/(t²+t-1)
Agora para determinação de reais A,B,C preciso só da soma dessas duas frações simples:
A/(t-1) + (Bt+C)/(t²+t–1) bom aí eu espero que você ainda não esqueceu como é que se para determinar as constantes pois aprendemos bem isso na escola no capítulo de polinômio né? kkkkkkk pois sim, não depende você também calcula hhhh eu vou dar as mbayas tipo os candongueiros kkkk

bom depois das mbayas eu tenho os coeficientes:
( A=2 , B=–2 e C=-3 ) e agora vou pôr ou seja substituir na nas integrais acima teremos:

∫2•dt/(t–1) + ∫(–2t–3)•dt/(t²+t-1)

2∫dt/(t+1)– ∫(2t+3)•dt/(t²+t–1)
2•ln|(t+1)|– ∫(2t+3)•dt/(t²+t–1)
agora podemos precisar do (1/4)
que guardamos e multiplico já :
(1/2)ln|t-1|–(1/4)∫(2t+3)dt/(t²+t–1)

e preciso mais resolver essa última integral
(–1/4)∫(2t+3)dt/(t²+t–1)
um pouco de artifícios nessa integração aguarde o (–1/4) transformado em:
∫(2t+1+2)•dt/(t²+t–1) Aqui separando f**a:

∫(2t+1)•dt/(t²+t–1) +∫2dt/(t²+t–1)
aplicação da diferencial tem-se:

∫d(t²+t-1)/(t²+t-1)+2∫dt/(t²+t–1)
ln|t²+t–1|+2∫dt/(t²+t–1)
sem esquecer o nosso (–1/4) f**a:
(–1/4)ln|t²+t–1|–(1/2)∫dt/(t²+t-1)
Então soma todas primitivas a resposta final é:
I=(1/2)ln|t-1|-(1/4)ln|t²+t-1|-(1/2)∫dt/(t²+t-1)+C sabendo que t=x⁴
e substitua aí e eu não resolvi aquela última integral básica e ponto final.

(c)
2•sin²[(π/2)•cos²x] = 2 - cos(π•sin2x)

um pouco de artifícios...

2•sin²[(π/2)•cos²x] =1+1- cos(π•sin2x)
2•sin²[(π/2)•cos²x] =1+[1- cos(2π/2•sin2x)]
2•sin²[(π/2)•cos²x] =1+2•sin²(π/2•sin2x)
2•sin²[(π/2)•cos²x]–1=2•sin²(π/2•sin2x)
Cos[(π•cos²x)]=–2•sin²[(π/2•sen2x)]
Cos(π•cos²x)=(1–1)-2• sin²(π/2•sin2x)
cos(π•cos²x)=–1+[1–2• sin²(π/2•sin2x)]
cos(πcos²x)=–1+cos(π•sin2x)
cos(πcos²x)–cos(π•sin2x)=–1
Multiplico por (–1) tem–se:
cos(π•sin2x)–cos(πcos²x)=1
Resolvendo essa equação transformada
temos como solução:

x1=(π/2)+πk e x2=±arctg(1/2)+πk

✌
✌
✌

TPC para ti
________________

(d)

∫ ³√(tg²x)•dx

(e)
Calcular a integral fechada:
∫ (dx-dy)/(x+y)
w

tomada ao longo do contorno do quadrado que tem seus vértices nos pontos A(1,0);B(0,1);C(–1,0) e D(0,–1), com a condição de que o percurso do contorno seja feito em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

20/04/2018

Tema : Trigonométria
Assunto: equação trigonométrica.
-Equação do tipo,sen(x)=(a) -Equação do tipo, cos(x)=(a) - equação do tipo tg(x)=(a)
-casos particulares das equações trigonométricas.
-exercícios resolvidos
➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖
Equação trigonométricas
Equação trigonométrica é uma equação em que a variável esta associada a uma expressão trigonométrica.
Por exemplo, são equações trigonométricas :
Sen(x)=1/2
2cos(x)-1=0
3tg(x)+5=0
Na resolução de problemas que envolvem funções trigonométricassurge muitas vezes uma equação trigonométrica.
Assim sendo começaremos a estudar as seguintes equações :
a)-Equação do tipo, sen(x)=(a)
Para resolvermos uma equação do tipo sen(x)=(a), temos de proceder do seguinte modo :
1°)Deteminar determinar o ângulo.
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+2kπ ou X=π-a+2kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+360°k ou X=(180-a)+360°k.
E temos os seguintes casos particulares para essa função:
para todo e qualquer (k) €IR,
Se sen(x)=0 então x=kπ
sen(x)=1então x=π/2+2kπ
sen(x)=-1 então x=-π/2+2kπ
Por Exemplo:
2sen(x)=- √2
Resolução.
Reduzindo a equação na forma sen(x)=(a), temos :
sen(x)=-√2/2
Se utilizassemos um círculo trigonométrico encontraríamos duas soluções do intervalo [0,2π] teríamos (-π/4) e
π-(-π/4)=5π/4
Logo :
sen(x)=-√2/2
sen(x)=-sen(45°)
sen(x)=-sen(π/4)
x=-(π/4)
S={x=-(π/4)+2kπ ou x=5π/4+ 2kπ}
Verif**ando :
2sen(x)=- √2
2sen[-(45°)]=-√2
2(-√2/2)=-√2
-√2= -√2
b)Equação do tipo, cos(x)=(a)
Para resolvermos equação do tipo cos(x)=(a) temos de ter em conta que :
1°) (a) e (π-a) têm o mesmo seno.
2 °)( a) e (-a) têm o mesmo Co-seno.
Assim :
Sen(x)=sen(a)X=a+2kπ ou X=π-a+2kπ, k€Z e cos(x)=cos(a) X=a+2kπ ou X=-a+2kπ, k€Z
logo, para resolver uma equação do tipo co(x)=(a), procedemos do seguinte modo :
1°)Determiar o ângulo (a).
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+2kπ ou X=-a+2kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+360°k ou X=(-a)+360°k.
Por exemplo.
Resolva em IR as seguinte equação:
Cos(2x)=-sen(x)
Resolução :
Reduzindo a equação na forma cos(x)=(a), temos :
Cos(2x)=-sen(x)
Cos(2x)=cos[(π/2)+x]
logo,
{(2x)=[(π/2)+x]+2kπ ou
{(2x)=-[(π/2)+x]+2kπ
Resolvendo as equações em ordem (x).
Aplicando a fórmula, cos(x)=cos(a) X=a+2kπ ou X=-a+2kπ
Temos :
X=(π/2)+2kπ ou
X=-(π/6)+(2kπ)/3
Obs: temos os seguintes casos particulares para equação do tipo cos(x)=(a)
para todo e qualquer (k) € Z, cos(x)=0 então x=2kπ
cos(x)=1então x=π/2+kπ
cos(x)=-1 então x=π+2kπ
c) equação do tipo tg(x)=(a)
Como sabemos que o período da função y=tg(x) é (π), para resolvermos uma equação do tipo tg(x)=(a) procedemos do seguinte modo :
1°)Determiar o ângulo (a).
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+180°k.
Por exemplo ;
Resolva em [0,2π] a equação Cos(x)-sen(x)=0 e faça a verif**ação.
Resolução
Cos(x)-sen(x)=0
Cosx = senx
Para reduzirmos a equação Cos(x) =sen(x) em outra do tipo tg(x)=(a), aplicamos o seguinte procedimento :
Dividimos todos os termos por cos(x).
Cosx/cosx = senx/cosx
1=tgx
Logo : tgx=1
Resolvendo essa equações temos :
Tgx=tgπ/4
X=π/4.
Verif**ação
Sen(π/4) -cos(π/4) =0
√2/2 - √2/2 =0
0=0
Logo o nosso conjunto solução é :
S={π/4+πk, k€Z }
Obs: Obs: temos os seguintes casos particulares para equação do tipo tg(x)=(a)
para todo e qualquer (k) € Z, tg(x)=0 então x=kπ
tg(x)=1então x=π/4+kπ
tg(x)=-1 então x=-π/4+kπ
Exercício resolvidos.
a) 2senx = √3 para 0° < x y=2co(2x) e determine x€[-π, π] de modo que :
a) f(x)=0
b) f(x)=-√2
3- 2-Considere a função real de variável real definida por f:x—>y=tg(x/2) e determine x€[-π, 0] de modo que :
a)f(x)=√3
b)f(x)=-1

Tema : Trigonométria
Assunto: equação trigonométrica.
-Equação do tipo,sen(x)=(a) -Equação do tipo, cos(x)=(a) - equação do tipo tg(x)=(a)
-casos particulares das equações trigonométricas.
-exercícios resolvidos
➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖➖
Equação trigonométricas
Equação trigonométrica é uma equação em que a variável esta associada a uma expressão trigonométrica.
Por exemplo, são equações trigonométricas :
Sen(x)=1/2
2cos(x)-1=0
3tg(x)+5=0
Na resolução de problemas que envolvem funções trigonométricassurge muitas vezes uma equação trigonométrica.
Assim sendo começaremos a estudar as seguintes equações :
a)-Equação do tipo, sen(x)=(a)
Para resolvermos uma equação do tipo sen(x)=(a), temos de proceder do seguinte modo :
1°)Deteminar determinar o ângulo.
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+2kπ ou X=π-a+2kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+360°k ou X=(180-a)+360°k.
E temos os seguintes casos particulares para essa função:
para todo e qualquer (k) €IR,
Se sen(x)=0 então x=kπ
sen(x)=1então x=π/2+2kπ
sen(x)=-1 então x=-π/2+2kπ
Por Exemplo:
2sen(x)=- √2
Resolução.
Reduzindo a equação na forma sen(x)=(a), temos :
sen(x)=-√2/2
Se utilizassemos um círculo trigonométrico encontraríamos duas soluções do intervalo [0,2π] teríamos (-π/4) e
π-(-π/4)=5π/4
Logo :
sen(x)=-√2/2
sen(x)=-sen(45°)
sen(x)=-sen(π/4)
x=-(π/4)
S={x=-(π/4)+2kπ ou x=5π/4+ 2kπ}
Verif**ando :
2sen(x)=- √2
2sen[-(45°)]=-√2
2(-√2/2)=-√2
-√2= -√2
b)Equação do tipo, cos(x)=(a)
Para resolvermos equação do tipo cos(x)=(a) temos de ter em conta que :
1°) (a) e (π-a) têm o mesmo seno.
2 °)( a) e (-a) têm o mesmo Co-seno.
Assim :
Sen(x)=sen(a)X=a+2kπ ou X=π-a+2kπ, k€Z e cos(x)=cos(a) X=a+2kπ ou X=-a+2kπ, k€Z
logo, para resolver uma equação do tipo co(x)=(a), procedemos do seguinte modo :
1°)Determiar o ângulo (a).
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+2kπ ou X=-a+2kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+360°k ou X=(-a)+360°k.
Por exemplo.
Resolva em IR as seguinte equação:
Cos(2x)=-sen(x)
Resolução :
Reduzindo a equação na forma cos(x)=(a), temos :
Cos(2x)=-sen(x)
Cos(2x)=cos[(π/2)+x]
logo,
{(2x)=[(π/2)+x]+2kπ ou
{(2x)=-[(π/2)+x]+2kπ
Resolvendo as equações em ordem (x).
Aplicando a fórmula, cos(x)=cos(a) X=a+2kπ ou X=-a+2kπ
Temos :
X=(π/2)+2kπ ou
X=-(π/6)+(2kπ)/3
Obs: temos os seguintes casos particulares para equação do tipo cos(x)=(a)
para todo e qualquer (k) € Z, cos(x)=0 então x=2kπ
cos(x)=1então x=π/2+kπ
cos(x)=-1 então x=π+2kπ
c) equação do tipo tg(x)=(a)
Como sabemos que o período da função y=tg(x) é (π), para resolvermos uma equação do tipo tg(x)=(a) procedemos do seguinte modo :
1°)Determiar o ângulo (a).
2°)Escrever em radiano ou no sistema circular as soluções .
X=a+kπ e em graus ou no sistema sexagesimal X=a+180°k.
Por exemplo ;
Resolva em [0,2π] a equação Cos(x)-sen(x)=0 e faça a verif**ação.
Resolução
Cos(x)-sen(x)=0
Cosx = senx
Para reduzirmos a equação Cos(x) =sen(x) em outra do tipo tg(x)=(a), aplicamos o seguinte procedimento :
Dividimos todos os termos por cos(x).
Cosx/cosx = senx/cosx
1=tgx
Logo : tgx=1
Resolvendo essa equações temos :
Tgx=tgπ/4
X=π/4.
Verif**ação
Sen(π/4) -cos(π/4) =0
√2/2 - √2/2 =0
0=0
Logo o nosso conjunto solução é :
S={π/4+πk, k€Z }
Obs: Obs: temos os seguintes casos particulares para equação do tipo tg(x)=(a)
para todo e qualquer (k) € Z, tg(x)=0 então x=kπ
tg(x)=1então x=π/4+kπ
tg(x)=-1 então x=-π/4+kπ
Exercício resolvidos.
a) 2senx = √3 para 0° < x y=2co(2x) e determine x€[-π, π] de modo que :
a) f(x)=0
b) f(x)=-√2
3- 2-Considere a função real de variável real definida por f:x—>y=tg(x/2) e determine x€[-π, 0] de modo que :
a)f(x)=√3
b)f(x)=-1

09/04/2018

O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2^x) = 2^x é:

a) log2 5

b) log2 √3

c) 2

d) log2 √5

e) log2 3

Resposta
Podemos aplicar a propriedade básica dos logaritmos:

log2 (12 – 2^x) = 2^x
2^2x = 12 – 2^x
(2x)2 = 12 – 2x

Com 2x = y, teremos a seguinte equação:

y² = 12 – y
y² + y – 12 = 0

Chegamos a uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49

y = – b ± √Δ
2.a

y = – 1 ± √49
2.1

y = – 1 ± 7
2

y1 = – 1 + 7 = 6 = 3
2 2

y2 = – 1 – 7 = – 8 = – 4
2 2

Vamos agora resolver a equação 2x = y:

2x = y1
2x = 3
log2 3 = x 2x = y2
2x = – 4
log2 (– 4) = x
Note que a solução log2 (– 4) = x não é válida porque o logaritmando não pode ser menor do que zero. Portanto, a única solução possível é log2 3 = x. Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

02/04/2018

Tema : Geometria Analítica
Sumário:
Vector: é todo seguimento orientado AB de origem em A e extremidade em B em se conhece.
Um vector é determinado quando são conhecido a Direcção(obliqua, vertical ou horizontal); Sentido(posetivo ou negativo) e comprimento(modulo).
Tipos de vectores
1=> equipotentes
2=>livres
3=> fixo
4=>deslizante
5=>aplicada
6=>simetrico
7=>equivalente
8=>unitário
9=> colineary
10=> Nulos
___Operações com vectores
Continuamos depois!

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