23/12/2024
حساب مثلثات خطوة بخطوة الجزء ٣(أمثلة محلولة):
المثال 1: مثلث قائم الزاوية
المعطيات:
- الضلع المجاور = 8 سم
- الضلع المقابل = 6 سم
- المطلوب إيجاد: الزاوية θ والوتر
الحل:
1. لإيجاد الزاوية θ نستخدم tan θ = المقابل/المجاور
- tan θ = 6/8 = 0.75
- θ = tan⁻¹(0.75) = 36.87°
2. لإيجاد الوتر نستخدم نظرية فيثاغورس:
- الوتر² = المجاور² + المقابل²
- الوتر² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
- الوتر = 10 سم
المثال 2: إيجاد ارتفاع برج
المعطيات:
- شخص يبعد 30 متراً عن برج
- زاوية الارتفاع للنظر إلى قمة البرج = 60°
- المطلوب: ارتفاع البرج
الحل:
1. نستخدم tan 60° = الارتفاع/المسافة
2. الارتفاع = المسافة × tan 60°
3. tan 60° = √3
4. الارتفاع = 30 × √3 = 51.96 متراً
المثال 3: حل مثلث باستخدام قانون الجيوب
المعطيات:
- الضلع a = 10 سم
- الزاوية A = 45°
- الزاوية B = 60°
الحل:
1. نجد الزاوية C:
- C = 180° - (45° + 60°) = 75°
2. نجد الضلع b باستخدام قانون الجيوب:
- b/sin B = a/sin A
- b = (10 × sin 60°)/(sin 45°)
- b = (10 × 0.866)/(0.707) = 12.25 سم
3. نجد الضلع c:
- c/sin C = a/sin A
- c = (10 × sin 75°)/(sin 45°)
- c = (10 × 0.966)/(0.707) = 13.66 سم
المثال 4: استخدام قانون جيوب التمام
المعطيات:
- الضلع a = 8 سم
- الضلع b = 6 سم
- الزاوية C = 60°
الحل:
1. نستخدم قانون جيوب التمام لإيجاد الضلع c:
c² = a² + b² - 2ab × cos C
- c² = 8² + 6² - 2(8)(6) × cos 60°
- c² = 64 + 36 - 96 × 0.5
- c² = 100 - 48 = 52
- c = √52 = 7.21 سم
2. نجد الزاوية A باستخدام قانون الجيوب:
- sin A/a = sin C/c
- sin A = (8 × sin 60°)/7.21
- A = sin⁻¹(0.954) = 72.25°
3. نجد الزاوية B:
- B = 180° - (72.25° + 60°) = 47.75°
المثال 5: حساب مساحة مثلث باستخدام قانون هيرون
المعطيات:
- a = 13 سم
- b = 14 سم
- c = 15 سم
الحل:
1. نحسب نصف المحيط s:
- s = (a + b + c)/2
- s = (13 + 14 + 15)/2 = 21
2. نطبق قانون هيرون:
- المساحة = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
- = √(21(21-13)(21-14)(21-15))
- = √(21 × 8 × 7 × 6)
- = √7056 = 84 سم²
#رياضيات